Vorbemerkungen
Die nachfolgende ausführliche Herleitung folgt weitestgehend der Publikation von Peter Filß.
Als Behälter wird ein 200 l Fass angenommen. Die Herleitung kann aber auf beliebige andere zylindrische Objekte übertragen werden, für welche die ensprechenden Annahmen gelten.
Die grundlegende Idee der Herleitung geht vom Sichtfeld des Detektors im Behälter aus. Dieses wird durch den verwendeten Kollimator definiert wird und entspricht dem Bereich der aktiven Matrix, aus der prinzipiell Strahlung in den Detektor gelangen kann. Das im Sichtfeld des Detektors liegende Volumen wird in kleine Volumenelemente ΔV unterteilt, die senkrecht auf der Kollimatorachse stehen. Für jedes dieser nichtüberlappenden, den gesamten Bereich des Sichtfeldes im Behälters einnehmende Volumenelement wird dessen Beitrag zur Zählrate im Detektor bestimmt und alle Beiträge aufsummiert. Ein wesentlicher Punkt ist die Durchführung eines Grenzübergangs von einer endlichen Dicke des Volumenelements zu einem infinitesimal dünnen Volumenelement.
Anmerkung:
In der Herleitung wird ein zylinderförmiger Kollimator unterstellt. Für andere Kollimatorgeometrien (z. B. konisch, rechteckig etc.) sind entsprechende Anpassungen in der Herleitung vorzunehmen.
Für die Herleitung wird der Detektor zunächst als punktförmig angenommen. Die Effektivitätskalibration wird mit einer ebenfalls punktförmig angenommene Kalibrationsquelle durchgeführt, die sich auf der Kollimatorachse im Abstand S0 vom Detektor befindet. Die Aktivität der Punktquelle sei A0. Dann kann aus der gemessenen Zählrate Z0 für eine charakteristische Linie bei der Energie E mit der Emissionswahrscheinlichkeit η der energieabhängige Kalibrationsfaktor K(E) bestimmt werden.
\[ Z_0=\frac{K}{4 \cdot \pi \cdot S_0^2} \cdot \eta_0 \cdot A_0 \]
\[ K=\frac{4 \cdot \pi \cdot S_0^2}{\eta_0} \cdot \frac {Z_0}{A_0} \]
Ausgangspunkt der Herleitung ist die Fläche F0. Diese bestimmt sich durch die Fläche, die das Sichtfeld des Kollimators auf der dem Detektor zugewandten Seite des Abfallgebindes einnimmt. Für eine entsprechende Querschnittsfläche Fx im Abfallgebinde im Abstand x von der Außenseite des Gebindes gilt nach dem Abstandsquadratgesetz
\[ \frac{F_0}{F_x} = \frac {S_0^2}{\left(S_0 + x \right)^2} \]
Ist CA die Aktivitätsdichte in der aktiven Matrix, η die Emissionswahrscheinlichkeit der betrachteten Linie und µ ihr linearer Schwächungskoeffizient, dann kann der Beitrag zur Zählrate dZ einer Querschnittsfläche Fx der Dicke dx mit
\[ dV = F_x \cdot dx \]
unter Berücksichtigung der Schwächung der emittierten Strahlung entlang der Wegstrecke der Länge x in Richtung Detektor durch
\[ dZ = K \cdot \frac{\exp \left( -\mu \cdot x \right)}{4 \cdot \pi \cdot \left( S_0 + x \right)^2 } \cdot C_A \cdot \eta \cdot dV \]
bestimmt werden. Durch Einsetzen ergibt sich für den Beitrag zur Zählrate dZ
\[ dZ = K \cdot \frac{\exp \left( -\mu \cdot x \right)}{4 \cdot \pi \cdot \left( S_0 + x \right)^2 } \cdot C_A \cdot \eta \cdot F_0 \cdot \frac{\left(S_0 + x \right)^2}{S_0^2} \cdot dx \]
\[ dZ = K \cdot \frac{\exp \left( -\mu \cdot x \right)}{4 \cdot \pi \cdot S_0^2 } \cdot C_A \cdot \eta \cdot F_0 \cdot dx \]
\[ dZ = \frac{Z_0}{\eta_0 \cdot A_0} \cdot \exp \left( -\mu \cdot x \right) \cdot C_A \cdot \eta \cdot F_0 \cdot dx \]
Für die Bestimmung der Zählrate Z im Detektor, müssen die Beiträge aller Flächen Fx entlang x summiert werden. Im Grenzübergang
\[ \lim\limits_{x\to 0}dx \]
entspricht dies einer Integration der Funktion dZ(x) für alle \( x\in [0;h] \)
\[ Z=\int \limits_{0}^{h}dZ \]
Nach Einsetzen und Gruppieren der konstanten Faktoren
\[ Z=\int \limits_{0}^{h}\frac{Z_0 \cdot F_0 \cdot C_A \cdot \eta }{\eta_0 \cdot A_0} \cdot \exp \left( -\mu \cdot x\right) \cdot dx \]
liefert die Integration
\[ Z=\frac{Z_0 \cdot F_0 \cdot C_A \cdot \eta }{\eta_0 \cdot A_0} \cdot \left[ -\frac{\exp \left( -\mu \cdot x\right)}{\mu} \right]_0^h \]
bzw.
\[ Z=\frac{Z_0 \cdot F_0 \cdot C_A \cdot \eta }{\eta_0 \cdot A_0 \cdot \mu} \cdot \left[1 - \exp \left( -\mu \cdot x\right) \right] \]
Der Term in der eckigen Klammer wird als Korrekturfaktor K1 bezeichnet und beschreibt die mittlere Schwächung entlang der Gesamtweglänge h.
\[ Z=\frac{Z_0 \cdot F_0 \cdot C_A \cdot \eta }{\eta_0 \cdot A_0 \cdot \mu} \cdot K_1 \]
Die Aktivitätskonzentration CA kann durch die spezifische Aktivität a und die Dichte ρ ausgedrückt werden
\[ C_A = a \cdot \rho \]
Nach Einsetzen in die voranstehende Gleichung ergibt sich für die Zählrate Z der Ausdruck
\[ Z=\frac{Z_0 \cdot F_0}{\eta_0 \cdot A_0 \cdot \mu} \cdot a \cdot \rho \cdot \eta \cdot K_1 \]
Die konstanten Größen können im Kalibrationsfaktor H zusammengefasst werden
\[ H=\frac{\eta_0 \cdot A_0 }{Z_0 \cdot F_0} \cdot \left( \frac {\mu}{\rho} \right) \]
Für die spezifische Aktivität a und die Aktivität A bei bekannter Masse M der aktiven Matrix ergeben sich daraus die Bestimmungsgleichungen
\[ a=\frac{H}{K_1} \cdot \frac{1}{\eta} \cdot Z \]
bzw.
\[ A=M \cdot \frac{H}{K_1} \cdot \frac{1}{\eta} \cdot Z \]
Anmerkung:
Der Kalibrationsfaktor H ist über den Massenschwächungskoeffienten \( \left( \frac{\mu}{\rho} \right) \) mit den Matrixeigenschaften verknüpft. Eine Vereinfachung in der Handhabung für die Praxis ergibt sich, wenn eine vom Massenschwächungskoeffizienten unabhängige Kalibrationsgröße \( H^{'} \) eingeführt wird.
\[ H=\frac{\eta_0 \cdot A_0 }{Z_0 \cdot F_0} \cdot \left( \frac {\mu}{\rho} \right) \]
Diese kann für jede Messgeometrie unabhängig von den Eigenschaften der (später) zu quantifizierenden Abfallgebinde einmalig für den relevanten Energiebereich bestimmt werden. Die jeweiligen Matrixeigenschaften werden multiplikativ über den Massenschwächungskoeffizienten berücksichtigt.
\[ H = H^{'} \cdot \left(\frac{\mu}{\rho} \right) \]
In den beiden Bestimmungsgleichungen werden Umhüllungen der aktiven Matrix nicht berücksichtigt. Im Allgemeinen ist die aktive Matrix in einem Behälter enthalten, der gegebenenfalls von zusätzlichen abschirmenden Schichten umgeben ist, die von einem weiteren Behälter (z. B. Abfallfass) umgeben sind.
Die Schwächung der von der aktiven Matrix emittierten Gamma-Strahlung in den i Schichten mit den Dicken di werden durch einen zusätzlichen Korrekturfaktor K2 berücksichtigt.
\[ K_2 = \exp \left( \sum \limits_{i} \mu_i \cdot d_i \right) \]
Die mit dem Korrekturfaktor K2 multiplizierten Bestimmungsgleichungen beschreiben nur die Bestimmung der (spezifischen) Aktivität für eine stationäre Messung. Bei segmentierten Gamma-Scan-Messungen „rastert“ der kollimierte Detektor das Abfallgebinde aber ab, d. h. es handelt sich um einen dynamischen Messvorgang. Hierbei ist es möglich, dass die aktive Matrix sich nicht während der gesamten Messung im Sichtfeld des kollimierten Detektors befindet. Diese Eigenschaft wird durch den Korrekturfaktor K3 berücksichtigt.
\[ K_3 = \frac{T}{T^{*}} \]
T ist die Gesamtmesszeit und T* die Zeit, während der der kollimierte Detektor die aktive Matrix sieht.
Anmerkung:
Diese Definition des Korrekturfaktors K3 gilt nur, wenn die Gesamtmesszeit T und die Teilmesszeit T* bestimmt werden können (z. B. aus den Informationen zu Segmentspektren und den Ortsverteilungen). Oftmals kann alternativ auch das Verhältnis der Gesamtscanhöhe h zur Höhe h* der aktiven Matrix verwendet werden
\[ K_3 = \frac{h}{h^{*}} \]
Auf die Höhe h* kann beispielsweise durch Auswertung der erzeugten energiespezifischen Ortsverteilungen geschlossen werden.
Damit ergeben sich die Bestimmungsgleichungen für die spezifischen Aktivität a zu
\[ a = \left[ H^{'} \cdot \frac{1}{\eta} \cdot \left( \frac{\mu}{\rho}\right) \cdot \frac{K_2 \cdot K_3}{K_1} \right] \cdot Z \]
und die Aktivität A zu
\[ A = M \cdot \left[ H^{'} \cdot \frac{1}{\eta} \cdot \left( \frac{\mu}{\rho}\right) \cdot \frac{K_2 \cdot K_3}{K_1} \right] \cdot Z \]
für Messungen mit in kollimierter Geometrie. Der Ausdruck in eckigen Klammern entspricht der Transferfunktion T.