4.10 Tools: Einfluss des K1-Faktors

Einfluss des K₁-Faktors

Das Auswertemodell nach Filß für Messungen in offener Geometrie berücksichtigt die Schwächung der emittierten Strahlung in der homogenen (Beton-)Matrix mit homoger Aktivitätsverteilung in 200 L Abfallgebinden durch einen Korrekturfaktor K₁.

\[ K_1 = \frac{1}{F_0} \cdot \int_{F_0} 1-e^{-\mu \cdot B} dF \]

Für 200 L Fässer mit betoniertem Inhalt unterschiedlicher Dichte (ρ ≥ 1 g·cm^-3) und linearen Schwächungskoeffizienten µ ≥ 0,0578 cm^-1var> (Beton) wird gezeigt, dass der mittlere Wert von K₁ für ⁶⁰Co (E ≈ 1250 keV) maximal um ca. 9 % vom Wert 1 abweicht, folglich keinen großen Einfluss auf die berechnete Aktivität hat. Für niedrigere Energien (z. B. ¹³⁷Cs mit 662 keV) wird der lineare Schwächungskoeffizient größer, d. h. die Abweichung ist noch kleiner. Ergänzend wird in der Herleitung gefordert, dass für die Messgeometrie S ≥ 2·r gelten muss.

Die Anwendung des Auswertemodells auf (zylindrische) Behälter anderer Geometrie und anderen Inhalts sowie Abständen S, die der Bedingung S ≥ 2·r nicht genügen, muss der Einfluss des Korrekturfaktors K₁ genauer berücksichtigt werden.

Da eine analytische Lösung des Intergrals nicht möglich ist, wird hierfür ein numerisches Berechnungstool bereitgestellt.

Bedienung und Anzeigen

Das Berechnungstool für K₁ besteht aus vier Bereichen. Der obere Bereich links zeigt eine schematische Darstellung des Detektorsichtfelds in Seitenansicht (oben) und Aufsicht (unten) mit Winkeln φ und θ. Der zylindrische Behälter ist gelb skizziert, das Sichtfeld vor dem Behälter hellblau und hinter dem Behälter blau. Rechts daneben ist eine zweidimensionale Repräsentation die Werte für (1 – e^-µ·B(φ,θ) in Abhängigkeit der Winkel φ und θ in Falschfarbendarstellung gezeigt. Unter diesen beiden Abbildungen können verschiedene Parameter mit Slidern innerhalb sinnvoller Grenzen variiert werde:

• Abstand S des Detektors vom Behälter in cm,
• Radius r der aktiven Matrix in cm,
• lineare Schwächungskoeffizient µ der Matrix in cm^-1,
• Grad der Befüllung in % (ausgehend vom Behälterboden)
• Auflösung (Anzahl der Winkelinkremente)

Unter diesem Bereich wird das Ergebnis, der gemittelte Wert für K₁, angezeigt.

Alle Eingaben wirken sich sofort auf die Abbildungen und den berechneten Wert für K₁ aus.

Anwendungsbeispiele

• Berechnung von K₁ für vorgegebene Werte (beispielsweise für Eingabe im Berechnungstool Messunsicherheit in offener Geometrie
• Untersuchung der Auswirkungen auf K₁ bei Variation von Parametern
• Speziell kann die Abweichung von der Annahme einer homogenen Matrix aufgrund einer reduzierten Füllhöhe untersucht werden.
• In Kombination mit dem Berechnungstool für K₂ kann die Abweichung von der Annahme einer homogenen Aktivitätsverteilung untersucht werden (aktive Matrix befindet sich in einem kleineren (zylindersymmetrischen) Volumen und ist umgeben von gleichem oder anderem Material).

Informationen zur numerischen Berechnung

Der Detektor ist in halber Höhe des Abfallgebindes im Abstand S positioniert. Die aktive Matrix (zylindersymmetrisch im Behälter eingebracht) hat den Radius r und die Höhe h_füll. Der vom Detektor „gesehene“ Bereich der aktiven Matrix wird durch die Winkel φ und θ parametrisiert. Für gegebene Winkelschrittweiten werden die Weglängen B(φ,θ) in der aktiven Matrix berechnet, mit dem linearen Schwächungskoeffizienten µ multipliziert und anschließend summiert. Normierung auf die Anzahl an Winkelpositionen ergibt den Mittelwert für K₁.

\[ K_1 = \frac{1}{F_0} \cdot \int_{F_0} 1-e^{-\mu \cdot B} dF \approx \frac{1}{N \cdot M} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M \left[ 1-e^{-\mu \cdot B(\varphi_i, \vartheta_j)} \right] \]

Die Genauigkeit, mit der sich der Summenwert dem Wert der Integration annähert, hängt von der Anzahl an Winkelschritten ab. Die Mindestanzahl an Schritten N und M, die für eine ausreichende Genauigkeit erforderlich sind, wurde für dien Parameter S = 72 cm, r = 28 cm, h = 80 cm, h_füll = 100%, µ = 0.0578 cm^-1 untersucht. Hierfür wurde der Sichtbereich des Detektors in N bzw. M äquidistante Schritte mit den Winkeln φ_i bzw. θ_j unterteilt und mit dieser Auflösung der mittlere Wert für K₁ berechnet. Als Referenzwert K_1,ref wurde der K₁-Wert für N = M = 5000 (willkürlich) angesetzt.

Für die unterstellten Parameter ergibt sich eine asymptotische Annäherung an den Wert 0,7945, d. h. eine Abtastung mit N = N = 100 äquidistanten Schritten ist in diesen Fall ausreichend. Für abweichende Parameter ist dies zu verifizieren.

Einfluss der verschiedenen Parameter auf K₁

Der Einfluss der verschiedenen Parameter auf den Korrekturfaktor K₁ wird nachfolgend exemplarisch für ein 200 L Fass untersucht. Als Basisparameter in den Untersuchungen sind die Werte S = 72 cm, r = 28 cm, h = 80 cm, h = 80 cm, h_füll = 100%, µ = 0,0578 cm^-1 unterstellt.

Für andere Vorgaben lässt sich diese Untersuchung mit Hilfe des Berechnungstools leicht nachvollziehen.

Einfluss der Füllhöhe h_füll

Eine teilweise Befüllung des Behälters hat eine nicht-lineare Auswirkung in der Berechnung von K₁ (siehe Diagramm), die bei Füllhöhen unter 50 % zu teilweise signifikanten Abweichungen von der linearen Abhängigkeit führt.

Berechnete K₁-Werte mit dem Berechnungstool (blaue Linie) und unter der Annahme einer linearen Abhängigkeit von der Füllhöhe (schwarze gestrichelte Linie). Die schwarze Linie zeigt die prozentuale Abweichung der beiden Werte.

Auswirkung von Unsicherheiten in den Parametern

In der Regel sind die zur Bestimmung von K₁ benötigten Parameter nur innerhalb eines gewissen Wertebereichs bekannt. Die Auswirkung auf den numerisch berechneten K₁-Wert wurden durch eine Variationsanalyse untersucht.

Die Berechnungen erfolgten für jeden Parameter für seinen gesamten (unterstellten) Wertebereich.  und wurden anschließend für jeden dieser Werte mit Variationen von ± 1 % bzw. ± 10 % wiederholt. Hieraus ergab sich ein Toleranzband für den Variationsbereich von K₁ (rote bzw. gestrichelte schwarze Linien). In den Diagrammen ist der K₁-Wert für die Basisparameter als Kreuz eingezeichnet.

Abhängigkeit des K₁-Wertes als Funktion des Radius r der aktiven Matrix.

Abhängigkeit des K₁-Wertes als Funktion des Abstands S des Detektors von der Behälteroberfläche.

Abhängigkeit des K₁-Wertes als Funktion der Behälterhöhe.

Abhängigkeit des K₁-Wertes von der Höhe der aktiven Matrix, d. h. des Füllstands.

Abhängigkeit des K₁-Wertes als Funktion linearen Schwächungskoeffizienten der aktiven Matrix.

Basierend auf diesen Ergebnissen lassen sich die Unsicherheiten für die einzelnen Parameter aufgrund ungenauer Kenntnis der wahren Werte wie folgt abschätzen:

Vergleich der mit verschiedenen Verfahren bestimmten Werte für K₁

In der praktischen Anwendung werden für den Korrekturfaktor K₁ oftmals die von Filß eingeführte Näherung oder der Ansatz einer radial durch die Fassmitte verlaufenden Schwächung verwendet. Ein Vergleich dieser beiden Verfahren mit den Ergebnissen des Berechnungstools ergibt für verschiedene lineare Schwächungskoeffizienten Abweichungen im Bereich von 7 bis 11 %. Durch die genauere Berücksichtigung der oberen und unteren Bereiche durch das Berechnungstool werden hier kleinere Werte für den Korrekturfaktor ermittelt.

Mit verschiedenen Verfahren berechnete Werte für den Korrekturfaktor K₁ für drei unterschiedliche lineare Schwächungskoeffizienten der aktiven Matrix.