4 Auswerteverfahren - Modelle

Auswerteverfahren und ihre mathematischen Modelle stehen in einem direkten Zusammenhang mit den Messverfahren . Nicht jedes Auswerteverfahren ist für die Auswertung der gemessenen Daten eines jeden Messverfahrens geeignet. Entsprechend legt das gewählte Messverfahren auch meistens das zu verwendende Auswerteverfahren fest.

In diesem Abschnitt werden wir die wesentlichen mathematischen Modelle (d. h. Formeln) kennenlernen, die für die Auswertung der Messdaten in der Praxis Anwendung finden. Wir diskutieren deren Anwendungs- und vor allem auch Gültigkeitsbereich ohne aber deren mathematische Herleitungen aufzuzeigen. Diese können bei Interesse über die entsprechenden Links im Abschnitt „Experten“ bei Bedarf nachvollzogen werden

Ausgangspunkt stellen die unterschiedlichen Messverfahren dar:

• Messung in offener Geometrie
• Messung in kollimierter Geometrie

sowie der (fast) allen Modellbeschreibungen der verschiedenen Auswerteverfahren zugrundeliegende Zusammenhang zwischen Aktivität A und gemessener Zählrate Z für eine charakteristische Linie eines Nuklids

\[ A = T \cdot Z \]

Die Transferfunktion T  beschreibt das jeweilige mathematische Modell und hängt von der Energie und von modellspezifischen Parametern abhängig.

Messung in offener Geometrie

Auswerteverfahren nach Filß

Das mathematische Modell für die Auswertung einer Messung in offener Geometrie (mit und ohne Rotation) nach Filß wird durch die Gleichung

\[ A = M \left[ \frac{1}{\epsilon} \cdot \frac{1}{\eta} \cdot \left( \frac{\mu }{\rho} \right) \cdot \frac{1}{F_0} \cdot \frac{K_2}{K_1}\right] \cdot Z \]

beschrieben und basiert auf folgenden Annahmen:

Sind diese Annahmen (weitestgehend) erfüllt, dann kann eine Aktivitätsbestimmung aus der gemessenen Zählrate Z durch Verwendung der Transferfunktion T, unsere Modellbeschreibung, erfolgen.

\[ T = \left[ \frac{1}{\epsilon} \cdot \frac{1}{\eta} \cdot \left( \frac{\mu }{\rho} \right) \cdot \frac{1}{F_0} \cdot \frac{K_2}{K_1}\right] \]

Bedeutung der einzelnen Parameter in der Transferfunktion T:

Die Transferfunktion T stellt den Zusammenhang zwischen der gemessenen Zählrate Z und der gesuchten Aktivität A her. Ihre zum Teil energie- und nuklidabhängigen Parameter müssen für jede auszuwertende charakteristische Linie entsprechend gewählt werden.

Emissionswahrscheinlichkeit η
Ein Radionuklid kann Gamma-Strahlung mit einer oder mehreren diskreten Energien emittieren. Die Wahrscheinlichkeit für die Emission bei einer bestimmten Energie wird durch die Emissionswahrscheinlichkeit angegeben. Die Werte sind tabelliert und teilweise frei zugänglich (z. B. Lara, IAEA, NDS, KAERI, JAEA). Zu beachten ist, dass in der Auswertesoftware von Messsystemen nicht immer die aktuellsten Übergangswahrscheinlichkeiten berücksichtigt sind bzw. bekannte fehlerhafte Werte korrigiert wurden.

Für die identifizierte charakteristische Linie wird aus einer der externen Datenbanken oder der in der Auswertesoftware integrierten Datenbank die entsprechende Emissionswahrscheinlichkeit gewählt. Die (meistens) ebenfalls tabellierten zugehörigen Unsicherheiten werden für die Bestimmung der Unsicherheit der berechneten Aktivität genutzt (Anmerkung: diese Unsicherheiten sind in der Regel so gering, dass sie keinen Einfluss auf die Unsicherheit der bestimmten Aktivität haben).

Bei der Nutzung der Werte ist auf die korrekte Einheit zu achten! Die Werte werden meistens als Dezimalzahl angegeben, manchmal aber auch in Prozent (dabei entspricht der Wert 1,0 einem Wert von 100 %). Ist ein Wert größer als 1, dann handelt es sich meistens um Prozentangaben!

Effektivität ε des Detektors für eine Punktquelle auf der Behälteroberfläche
Das Auswertemodell nach Filß geht von einer Effektivitätskalibration mit einer Punktquelle aus, die sich auf der dem Detektor zugewandten Behälterwand in gleicher Höhe wie der Detektor in einem gegebenen Abstand S befindet. Der Abstand S entspricht dem Abstand, den der zu messende Behälter anschließend einnehmen wird.

Die energieabhängige Effektivität des Detektors beschreibt in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit mit der Gamma-Strahlung, die von der Punktquelle in alle Richtungen emittiert wird, auf den Detektor trifft und dort im Photopeak nachgewiesen wird.

Die Effektivität hängt somit vom verwendeten Detektorsystem, der Energie und der geometrischen Messanordnung ab. Bei Änderung ist eine erneute Effizienzkalibration mit den neuen Randbedingungen (z. B. anderes Detektorsystem) durchzuführen. Ändert sich nur der Abstand, dann können die Effektivitätswerte meist entsprechend
\[ \epsilon_{n} = \epsilon_{a} \cdot \frac{S_a^2}{ S_n^2} \]
angepasst werden. Wenn die Kalibrationsmessung im Abstand S_a die Effektivität ε_a ergab, dann ist ε_n die „korrigierte“ Effektivität im Abstand S_n.

In den Kalibrationsmessungen können die Effektivitätswerte nur für einige wenige Energiewerte bestimmt werden, die aber den gesamten relevanten Energiebereich abdecken sollten. In den Auswertungen werden aber oftmals die Effizienzwerte für davon abweichende Energien benötigt. In diesen Fällen bestimmt man aus den diskreten Effizienzwerten eine Effizienzkurve, aus der die gesuchten Effizienzwerte abgelesen bzw. (mit Hilfe der gefitteten Gleichungen) berechnet werden können.

Massenschwächungskoeffizient (μ/ρ) der Matrix
Die Materialeigenschaften des homogenen Inhalts des Behälters, in dem die Aktivitäten gleichmäßig (d. h. homogen) verteilt sind – dies sind die Annahmen für das Modell – werden durch den energieabhängigen Massenschwächungskoeffizienten beschrieben (Einheit g·cm^-2). Dieser kann für Elemente und Materialzusammensetzungen Datenbanken entnommen werden (z. B. NIST table 3 und 4).

Dies setzt aber die a priori Kenntnis bezüglich der Materialzusammensetzung des Inhalts des Behälters voraus. Ist dieser nicht genau bekannt, dann kann man diese „Unkenntnis“ in die Unsicherheit der Aktivitätsberechnung übertragen: aus den Tabellen bestimmt man sich einen minimalen und einen maximalen Wert für den Massenschwächungskoeffizienten, der mit den (zu dokumentierenden) „persönlichen“ Annahmen der „Unkenntnis“ übereinstimmt, berechnet daraus den Mittelwert, der für die weiteren Berechnungen verwendet wird, und setzt die Abweichungen des Mittelwerts von den beiden Extremwerten als Unsicherheit an (es handelt sich hier um einen empirischen Ansatz die „Unkenntnis“ quantitativ zu erfassen).

Querschnittsfläche F₀ des Behälters projiziert auf eine Kugel
Die Herleitung des Auswertemodells geht von einem punktförmigen Detektor aus. Die Querschnittsfläche des Behälters (Einheit cm2) wird hierbei auf eine Kugel um den punktförmigen Detektor abgebildete. Der Radius der Kugel entspricht dem Abstand S des Detektors zum Behälter (Anmerkung: entspricht der Position der Kalibrationsquelle bei der Effektivitätskalibration).

Beträgt die Querschnittsfläche des Behälter \( F_{\infty} = 2 \cdot r \cdot h \), mit dem Behälterradius r und der Behälterhöhe h, dann berechnet sich die projizierte Querschnittsfläche \( F_0 \) zu
\[ F_0 = F_{\infty} \cdot \frac{S^2}{(S + r)^2} \]

Korrekturfaktor K₁ für die Schwächung in der Matrix
Die von der im Behälter befindlichen Aktivitätsverteilung emittierte Gamma-Strahlung muss, bevor sie den Detektor erreicht, erst eine Wegtrecke im Behälter zurücklegen. Dabei wird sie entsprechend der Materialeigenschaften der sogenannten aktiven Matrix (= homogene Materialverteilung, in der ein Radionuklid homogen verteilt ist) geschwächt. Abhängig vom Ort der Emission der Gamma-Strahlung gelangt aufgrund der unterschiedlichen Weglängen in der aktiven Matrix unterschiedlich „viel“ Gamma-Strahlung in den Detektor. Diese Schwächung wird durch den Korrekturfaktor K₁ berücksichtigt, der sich aus der Mittelung des Sichtfeldes der Behälteroberfläche im Detektor bestimmt und mit
\[ K_1 = 1 - \exp(-\mu \cdot B) \]
berechnet werden kann. B ist der Durchmesser des Behälters (\( B = 2 \cdot r \)). Der energieabhängige lineare Schwächungskoeffizient μ kann durch den Massenschwächungskoeffizienten und die Dichte ρ der aktiven Matrix ausgedrückt werden
\[ \mu =\left( \frac{\mu}{\rho} \cdot \rho \right) \]
Die Nutzung des Massenschwächungskoeffizienten und der Dichte der aktiven Matrix ist oftmals einfacher als die Ermittlung des entsprechenden linearen Schwächungskoeffizienten, da für letztere nur wenige Datenbanken bekannt sind.

In vielen praktischen Anwendungsfällen liegt der Werte von K₁ im Bereich von 1,0 oder leicht darunter. Zur Bestimmung des Korrekturfaktors K₁ in Abhängigkeit aller Parameter steht ein entsprechendes Tool zur Verfügung.

Korrekturfaktor K₂ für die Schwächung in der Behälterwand
Analog der Schwächung der Gamma-Strahlung in der aktiven Matrix, ist auch die Schwächung beim Durchgang durch die Behälterwand zu berücksichtigen. Dies erfolgt durch den Korrekturfaktor K₂. Ist nur eine Behälterwand vorhanden (d. h. die aktive Matrix ist nur von der Behälterwand mit der Wanddicke w umgeben), dann kann K₂ näherungsweise mit

\[ K_2 = \exp(-\mu_w \cdot w^*) \]

berechnet werden. \(\mu_w \) ist der energieabhängige lineare Schwächungskoeffizient des Wandmaterials. Auch dieser kann alternativ durch den Massenschwächungskoeffizienten und die Dichte ρ_w des Wandmaterials berechnet werden:

\[ \mu_w = \left( \frac{\mu_w}{\rho_w} \right) \cdot \rho_w \]

Die tatsächliche Wanddicke w wird durch ein effektive Wanddicke \( w^* = 1,25 \cdot w \) ersetzt, die berücksichtigt, dass viele der auf den Detektor treffenden Gamma-Strahlen die Behälterwand nicht senkrecht, sondern schräg durchdringen, d. h. ihre Wegstrecken im Wandmaterial sind länger als die Wanddicke.

In manchen Fällen ist der Behälter, der die aktive Matrix enthält, in weiteren Behältern eingestellt und/oder von einer inaktiven Abschirmschicht umgeben. In diesem Fall erweitert sich der Faktor K₂ zu

\[ K_2 = \exp \left( - \sum_{i=1}^N \left( \mu_{w_i} \cdot w_i \right) \right) \]

für die i Wand- bzw. Abschirmschichten mit den linearen Schwächngskoeffizienten und Dicken \(\mu_{w_i}\) und \( w_i \). Zu beachten ist, dass die Dicken \( w_i\) entsprechend ihrer effektiven Dicken angepasste werden müssen. Hierbei ist auch das Tool zur Bestimmung des Korrekturfaktors K₂ in Abhängigkeit aller Parameter nützlich. Es berechnet für bis zu drei Wandschichten die K₂-Faktoren für verschiedene Angaben der Wanddicken (tatsächliche Wanddicke, effektive Wanddicke).

Messung in kollimierter Geometrie

Auswerteverfahren nach Filß

Das mathematische Modell für die Auswertung einer Messung in kollimierter Geometrie (d. h. durch Abscannen des Messobjekts im Spiral-Scan- oder Vielfach-Scheiben-Scan-Modus) nach Filß wird durch die Gleichung

\[ A = M \cdot a = M \cdot H^{‘} \cdot \left( \frac {\mu}{\rho} \right) \cdot \frac{K_2 \cdot K_3}{K_1} \cdot \frac{1}{\eta} \cdot Z \]
beschrieben und basiert auf folgenden Annahmen:

Sind diese Annahmen (weitestgehend) erfüllt, dann kann eine Aktivitätsbestimmung aus der gemessenen Zählrate Z durch Verwendung der Transferfunktion T, unsere Modellbeschreibung, erfolgen.

\[ T = \left[H^{'} \cdot \left( \frac{\mu }{\rho} \right) \cdot \frac{K_2 \cdot K_3}{K_1}\right] \]

Bedeutung der einzelnen Parameter in der Transferfunktion T:

Die Transferfunktion T stellt den Zusammenhang zwischen der gemessenen Zählrate Z und der gesuchten Aktivität A her. Ihre zum Teil energie- und nuklidabhängigen Parameter müssen für jede auszuwertende charakteristische Linie entsprechend gewählt werden.

energieabhängige Kalibrationsfaktor \(H^{'}\)
In der Literatur und auch der Originalarbeit von Filß wird der Kalibrationsfaktor H mit

\[ H = \frac{\eta_0 \cdot A_0}{Z_0 \cdot F_0} \cdot \left( \frac{\mu}{\rho} \right) \]

definiert. Die Daten der verwendeten Kalibrationsquelle bestimmen die Parameter

• \(\eta_0\) (Emissionswahrscheinlichkeit der betrachteten charakteristischen Linie),
• \(A_0\) (Aktivität) und
• \(Z_0\) (gemessene Zählrate der charakteristischen Linie).

Der eingesetzt Kollimator legt die Größe des Parameters \(F_0\) fest.

Diese Parameter sind alle unabhängig von den Eigenschaften des Messobjekts. Der Massenschwächungskoeffienten (μ/ρ) ist hingegen mit den Matrixeigenschaften verknüpft. Eine deutliche Vereinfachung in der praktischen Anwendung ergibt sich somit, wenn eine vom Massenschwächungskoeffizienten unabhängige Kalibrationsgröße \( H^{'} \) eingeführt wird

\[ H^{'} = \frac{\eta_0 \cdot A_0}{Z_0 \cdot F_0} \]

die mit dem ursprünglichen Kalibrationsfaktor H über die Beziehung

\[ H = H^{'} \cdot \left( \frac{\mu}{\rho} \right) \]

verknüpft ist.

\(H^{'} \) kann für verschiedene Kollimatoren und Energien in Kalibrationsmessungen bestimmt, die Werte in Tabellen hinterlegt und in den Auswertungen abgerufen werden.

Massenschwächungskoeffizient (μ/ρ) der Matrix
Die Materialeigenschaften des homogenen Inhalts des Behälters, in dem die Aktivitäten gleichmäßig (d. h. homogen) verteilt sind – dies sind die Annahmen für das Modell – werden durch den energieabhängigen Massenschwächungskoeffizienten beschrieben (Einheit g·cm^-2). Dieser kann für Elemente und Materialzusammensetzungen Datenbanken entnommen werden (z. B. NIST table 3 und 4).

Dies setzt aber die a priori Kenntnis bezüglich der Materialzusammensetzung des Inhalts des Behälters voraus. Ist dieser nicht genau bekannt, dann kann man diese „Unkenntnis“ in die Unsicherheit der Aktivitätsberechnung übertragen: aus den Tabellen bestimmt man sich einen minimalen und einen maximalen Wert für den Massenschwächungskoeffizienten, der mit den (zu dokumentierenden) „persönlichen“ Annahmen der „Unkenntnis“ übereinstimmt, berechnet daraus den Mittelwert, der für die weiteren Berechnungen verwendet wird, und setzt die Abweichungen des Mittelwerts von den beiden Extremwerten als Unsicherheit an (es handelt sich hier um einen empirischen Ansatz die „Unkenntnis“ quantitativ zu erfassen).

Korrekturfaktor K₁ für die Schwächung in der Matrix
Die von der im Behälter befindlichen Aktivitätsverteilung emittierte Gamma-Strahlung muss, bevor sie den Detektor erreicht, erst eine Wegtrecke im Behälter zurücklegen. Dabei wird sie entsprechend der Materialeigenschaften der sogenannten aktiven Matrix (= homogene Materialverteilung, in der ein Radionuklid homogen verteilt ist) geschwächt. Abhängig vom Ort der Emission der Gamma-Strahlung gelangt aufgrund der unterschiedlichen Weglängen in der aktiven Matrix unterschiedlich „viel“ Gamma-Strahlung in den Detektor. Diese Schwächung wird durch den Korrekturfaktor K₁ berücksichtigt, der sich aus der Mittelung des Sichtfeldes der Behälteroberfläche im Detektor bestimmt und mit
\[ K_1 = 1 - \exp(-\mu \cdot B) \]
berechnet werden kann. B ist der Durchmesser des Behälters (\( B = 2 \cdot r \)). Der energieabhängige lineare Schwächungskoeffizient μ kann durch den Massenschwächungskoeffizienten und die Dichte ρ der aktiven Matrix ausgedrückt werden
\[ \mu = \left( \frac{\mu}{\rho} \right) \cdot \rho \]
Die Nutzung des Massenschwächungskoeffizienten und der Dichte der aktiven Matrix ist oftmals einfacher als die Ermittlung des entsprechenden linearen Schwächungskoeffizienten, da für letztere nur wenige Datenbanken bekannt sind.

In vielen praktischen Anwendungsfällen liegt der Werte von K₁ im Bereich von 1,0 oder leicht darunter. Zur Bestimmung des Korrekturfaktors K₁ in Abhängigkeit aller Parameter steht ein entsprechendes Tool zur Verfügung.

Korrekturfaktor K₂ für die Schwächung in der Behälterwand und inneren Abschirmungen
Analog der Schwächung der Gamma-Strahlung in der aktiven Matrix, ist auch die Schwächung beim Durchgang durch die Behälterwand zu berücksichtigen. Dies erfolgt durch den Korrekturfaktor K₂. Ist nur eine Behälterwand vorhanden (d. h. die aktive Matrix ist nur von der Behälterwand mit der Wanddicke w umgeben), dann kann K₂ näherungsweise mit

\[ K_2 = \exp(-\mu_w \cdot w) \]

berechnet werden. \(\mu_w \) ist der energieabhängige lineare Schwächungskoeffizient des Wandmaterials. Auch dieser kann alternativ durch den Massenschwächungskoeffizienten und die Dichte ρ_w des Wandmaterials berechnet werden:

\[ \mu_w = \left( \frac{\mu_w}{\rho_w} \right) \cdot \rho_w \]

Die Nutzung des Kollimators, der auf die Drehachse des Messsystems ausgerichtet ist, beschränkt den vom Detektor "gesehenen" Bereich auf einen kleinen Ausschnitt. Deshalb kann in guter Näherung für die Wanddicke die tatsächliche Dicke des Wandmaterials eigesetzt werden (Anmerkung: im Gegensatz zur Messung in offener Geometrie, bei der eine effektive Wanddicke angesetzt wird).

In manchen Fällen ist der Behälter, der die aktive Matrix enthält, in weiteren Behältern eingestellt und/oder von einer inaktiven Abschirmschicht umgeben. In diesem Fall erweitert sich der Faktor K₂ zu

\[ K_2 = \exp \left( - \sum_{i=1}^N \left( \mu_{w_i} \cdot w_i \right) \right) \]

für die i Wand- bzw. Abschirmschichten mit den linearen Schwächungskoeffizienten und Dicken \(\mu_{w_i}\) und \( w_i \). Hierbei ist auch das Tool zur Bestimmung des Korrekturfaktors K₂ in Abhängigkeit aller Parameter nützlich. Es berechnet für bis zu drei Wandschichten die K₂-Faktoren für verschiedene Angaben der Wanddicken (tatsächliche Wanddicke, effektive Wanddicke).

Korrekturfaktor K₃ für den Anteil der Messzeit an der Gesamtmesszeit, während der sich die aktive Matrix im Sichtbereich des Detektors befindet
In der segmentierten Gamma-Scan-Messungen „rastert“ der kollimierte Detektor das Abfallgebinde ab, d. h. es ist  möglich, dass die aktive Matrix sich nicht während der gesamten Messung im Sichtfeld des kollimierten Detektors befindet. Diese Eigenschaft wird durch den Korrekturfaktor K₃ berücksichtigt.

\[ K_3 = \frac{T}{T^*} \]

T ist die Gesamtmesszeit der segmentierten Gamma-Scan-Messung, T* die Zeit, während der der kollimierte Detektor die aktive Matrix sieht.