Zerfallsgleichung

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir erfahren, dass

• nach einer Halbwertszeit nur mehr die Hälfte der ursprünglich vorhandenen radioaktiven Atomkerne vorhanden sind und
• die Anzahl der zerfallenen Atomkerne nicht linear mit der Halbwertszeit abnimmt.

Diese beiden Aussagen wollen wir jetzt etwas näher betrachten, was uns zum Zerfallsgesetz führt. Dieses beschreibt, wie eine anfangs (d. h. zum Zeitpunkt \(t=0\)) vorhandene Anzahl an Atomkernen (wir bezeichnen sie im Folgenden als \(N_0\)) im Laufe der Zeit abnimmt und wie viele Atomkerne \(N_t\)zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt \(t\) noch vorhanden sind. Dies wird durch die Gleichung

\[N(t) = N_0 \cdot \exp(-\lambda \cdot t)\]

beschrieben (falls Ihnen diese Art der mathematischen Beschreibung einer Funktion nicht verständlich ist, dann lesen Sie hier nach). Neu in dieser Formulierung ist die Größe \(\lambda\), die wir noch nicht besprochen haben. Sie hat die Bezeichnung nuklidspezifische Zerfallskonstante und hängt mit der Halbwertszeit \(T_{1/2}\) über die Beziehung

\[\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} \]

zusammen. Setzen wir diese Beziehung in das Zerfallsgesetz für die Zerfallskonstante \(\lambda\) ein, dann erhalten wir

\[N(t) = N_0 \cdot \exp\left(-\frac{ln(2)}{T_{1/2}} \cdot t \right)\]

Jetzt können wir auch (mathematisch) erklären bzw. beschreiben, warum wir die beiden Ergebnisse im vorangegangenen Abschnitt erhalten haben.

Betrachten wir hierzu das Zerfallsgesetz für den Zeitpunkt nach genau einer Halbwertszeit, d. h. für \(t = T_{1/2}\). Nach Einsetzen und Kürzen erhalten wir

\[N(t=T_{1/2}) = N_0 \cdot \exp\left(-ln(2) \right) = \frac{1}{2} \cdot N_0 \]

d. h. nach einer Halbwertszeit sind noch genau die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Atomkerne vorhanden, wie unser erstes Ergebnis aussagt.

Das zweite Ergebnis erklärt sich nach Umstellen der Zerfallsgleichung

\[ \frac{N(t)}{N_0} = \exp\left(-\frac{ln(2)}{T_{1/2}} \cdot t \right) \]

Das Verhältnis zwischen den aktuell vorhandenen radioaktiven Atomkernen \(N(t)\) und den ursprünglich vorhandenen Atomkernen \(N_0\), das auf der linken Seite der Gleichung steht, wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben, die auf der rechten Seite steht, also nicht durch eine lineare Abhängigkeit von der Zeit \(t\), die für gleiche Abstände sorgen würde (siehe auch die Zerfallskurven im Abschnitt Halbwertszeit).

Mit unserem bisher erworbenen Wissen können wir jetzt den Übergang zum Begriff der Aktivität A vollziehen und nutzen hierfür folgende Definition:

Auch dies können wir durch eine Gleichung beschreiben:

\[ A = - \frac{dN}{dt} = \lambda \cdot N \]

Wir wollen jetzt unser bisheriges Wissen zum radioaktiven Zerfall, zur Halbwertszeit und der Zerfallsgleichung noch etwas vertiefen:

Betrachten wir eine radioaktive Quelle. Diese bestehe aus einer Anzahl an radioaktiven Atomkernen, die beim Zerfall Strahlung aussenden. Reduziert sich die Anzahl der radioaktiven Atomkerne durch Zerfall auf die Hälfte (nach einer Halbwertszeit), dann halbiert sich auch die von der Quelle emittierte Strahlungsmenge. Nach einer Halbwertszeit beträgt die Aktivität der radioaktiven Quelle somit nur noch die Hälfte ihrer ursprünglichen Aktivität. Nach zwei Halbwertszeiten ist die Aktivität auf ein Viertel der ursprünglichen Aktivität reduziert (\(1/2 \cdot 1/2 = 1/4\)). Nach drei Halbwertszeiten ist nur noch ein Achtel der ursprünglichen Aktivität übrig (\(1/2 \cdot 1/2 \cdot 1/2 = 1/8\)) und so weiter. Nach zehn Halbwertszeiten ist weniger als ein Tausendstel der ursprünglichen Aktivität übrig.