In unseren bisherigen Beschreibungen in den verschiedenen Einsteiger-Abschnitten haben wir versucht ohne weitergehende mathematische Kenntnisse auszukommen. Wenn wir uns nun einer vertieften Betrachtung der verschiedenen Themenbereiche zuwenden wollen, werden wir ohne einige mathematische Hilfsmittel nicht auskommen. Diese wollen wir hier kurz beschreiben.
Um diesen Abschnitt nicht allzu unerquicklich wird (Mathematik ist nicht für jeden ein erstrebenswerter Lebensmittelpunkt), können Sie über das nachfolgende Auswahlmenü die Sie aktuell interessierenden Abschnitte auswählen. Außerdem werden wir in den verschiedenen Abschnitten der EducTUM-Webseiten, für deren Verständnis spezielleres mathematisches Wissen erforderlich ist, Links auf die jeweils relevanten Abschnitte integrieren.
Die Exponentialschreibweise (oder wissenschaftliche Notation) ist eine mathematische Methode, um sehr große oder sehr kleine Zahlen kompakt darzustellen. Eine Zahl wird dabei als Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz geschrieben. Sie dient vor allem der besseren Lesbarkeit und vereinfacht oftmals Rechnungen in Naturwissenschaften und Technik.
Die allgemeine Form lautet:
\[a \cdot 10^n\]
- \(a\) wird als Koeffizient oder Mantisse bezeichnet und hat in der Regel einen Wert zwischen 1 und kleiner als 10.
- \(n\) wird Exponent oder Hochzahl genannt und ist eine ganze Zahl. Sie gibt an, wie oft der Faktor 10 auf den Koeffizienten angewendet wird.
Hier einige Beispiele:
- \(4200 = 4,2 \cdot 10^3\) (der Exponent 3 sagt aus, dass das Komma um 3 Stellen nach rechts verschoben wurde)
- \(1600000 = 1,6 \cdot 10^6\) (… das Komma wurde um 6 Stellen nach rechts verschoben)
- \(0,000054 = 5,4 \cdot 10^{-5}\) (… das Komma wurde um 5 Stellen nach links verschoben)
- \(0,00000054 = 5,4 \cdot 10^{-7}\) (… das Komma wurde um 7 Stellen nach links verschoben)
Ein Beispiel für die Verwendung der Exponentialschreibweise haben wir bereits in der schematischen Darstellung des elektromagnetischen Spektrums kennengelernt und in den darauffolgenden weitergehenden Informationen bereits Bezug auf diese Schreibweise genommen. Letzteres können wir jetzt genauer formulieren. Die dort getätigte Aussage „dass man den Wert der Frequenz (\(\nu\)) einfach mit einer konstanten Zahl multiplizieren muss, um den entsprechenden Wert für die Energie (\(E\)) der Strahlung zu erhalten“ können wir nun mathematisch formulieren:
\[E = h \cdot \nu = 6,626 \cdot 10^{-34} \cdot \nu \]
Dies Beziehung sagt aus, dass man durch Multiplikation des Wertes der Frequenz \(\nu\) mit einer sehr kleinen konstanten Zahl (dem Planckschen Wirkungsquantum \(h = 6,626 \cdot 10^{-34}\) ) den entsprechenden Wert für die Energie der Strahlung erhalten kann (in diesem Beispiel haben wir die Verwendung der korrekten Einheiten vorausgesetzt. Gegebenenfalls müssen weitere Umrechnungsfaktoren berücksichtigt werden (siehe Abschnitt Einheiten)).
Während unserer Reise durch die verschiedenen Bereiche der zerstörungsfreien Charakterisierung radioaktiver Abfälle werden wir des Öfteren über Formeln stolpern, wie beispielsweise
\[ f(x) = 3 \cdot x \]
oder etwas komplizerter
\[ A(t) = A_0 \cdot \exp \left( - \lambda \cdot t \right) \]
Diese beiden Gleichungen sind Beispiele für mathematische Funktionen, einer der wichtigsten und grundlegendsten Begriffe in der Mathematik.
Das Grundprinzip einer Funktion ist aber relativ einfach: Man hat einen Eingabewert – beispielsweise \(x\) oder \(t\) in unseren Beispielen – und möchte den zugehörigen Wert der Funktion (\(f(x)\) oder \(A(t)\)) berechnen. Die Vorschrift (oder „Anleitung“), wie dieser Wert berechnet werden soll, steht auf der rechten Seite der Gleichung (nachdem „=“-Zeichen).
Vielen ist gar nicht klar, dass wir in unserem täglichen Leben häufig Funktionen benutzen – auch wenn wir diese nicht immer als Gleichung irgendwo notieren. Stellen Sie sich vor, Sie wollen ein Essen zubereiten. Das Kochrezept gibt die benötigten Mengen der verschiedenen Zutaten für eine Person an (z. B. 100 g Zucker). Dann kann das Kochrezept durch folgende Funktion für die benötigte Menge (hier 100 g) der Zutat (hier: Zucker) beschrieben werden:
\[ \text{Menge(1 Person)} = \text{Menge an Zucker im Rezept} \]
also
\[ \text{Menge(1 Person)} = 100~g \]
Jetzt wollen Sie aber das Essen für 3 Personen zubereiten. Dann nehmen Sie für die benötigte Menge an Zucker doch automatisch die dreifache Menge aus dem Rezept (außer Sie wollen es weniger süß machen - aber das ist eine andere Sache). Dies können Sie auch mathematisch in Form einer Gleichung schreiben (frei nach dem Motto: warum einfach, wenn es auch kompliziert geht):
\[ \text{Menge(3 Personen)} = 3 \cdot \text{Menge an Zucker im Rezept} \]
Diese Funktion können wir auch allgemeiner schreiben, d. h. wenn wir sie auch für eine beliebige Anzahl an Personen verwenden wollen.
Meistens verwendet man in Gleichungen keine langen Texte für die einzelnen Beiträge, sondern Abkürzungen. Dies wollen wir jetzt auch einführen. Bezeichnen wir die Menge, die wir benötigen, mit dem Buchstaben \(m\), die Anzahl der Personen, für die wir kochen wollen mit \(x\) und die Mengenangabe an Zucker für eine Person aus dem Kochrezept mit \(m_0\), dann lautet die allgemeine Funktion
\[ m(x) = x \cdot m_0 \]
Sie haben damit eine eindeutige Rechenvorschrift, wie sie für eine beliebige Anzahl an Personen \(x\) die benötigte Menge \(m(x)\) berechnen können.
Das war’s. Jetzt wissen sie, dass Funktionen Rechenvorschriften sind mit der Sie für einen Eingabewert (in unserem Beispiel die Anzahl an Personen) einen Funktionswert (in unserm Beispiel die Menge an Zucker für eine gegebene Anzahl an Personen) berechnen können.
Funktionen helfen also dabei, Zusammenhänge und Abhängigkeiten in der realen Welt zu beschrei-ben und vorherzusagen.
Betrachten wir nochmals obige Funktion
\[ A(t) = A_0 \cdot \exp \left( - \lambda \cdot t \right) \]
Diese beschreibt den radioaktiven Zerfall d. h. wie groß ist die Aktivität \(A\) nach einer Zeit \(t\), wenn zum Zeitpunkt \(t=0\) die Aktivität \(A_0\) war. Der Zusammenhang wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben mit der Zerfallskonstanten \(\lambda\).
Zugegeben, diese Erklärung war bewusst sehr einfach und (hoffentlich) allgemeinverständlich gehalten. Es geht natürlich auch etwas mathematischer.
Formal schreibt man eine Funktion
\[ \text{f: X} \to \text{Y} \]
oder in unserem Anwendungsbereich meistens als Funktionsgleichung
\[ f(x) = \text{Term mit x} \]
Hierbei bedeuten
- Definitionsmenge (\(X\)): Die Menge aller Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden kann (also alle erlaubten \(x\)-Werte)
- Wertemenge (\(Y\)): Menge aller Werte, die als Ergebnis herauskommen können
- Argument (\(x\)): Eingangswert
- Funktionswert (\(f(x)\)): Der Ausgangswert (das Ergebnis), der zu einem bestimmten \(x\) gehört.
Neben der Darstellung einer Funktion als Funktionsgleichung können diese auch als Wertetabellen oder Diagramme dargestellt werden.
\[f(x) = 3 \cdot x^2 \]
| x | f(x) |
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 12 |
| 3 | 27 |
Ein Ausgangspunkt für weiterführende Informationen findet sich hier.
Eine Exponentialfunktion beschreibt mathematisch Prozesse, bei denen sich ein Wert in gleichen Intervallen (z. B. Zeitschritten) immer um denselben Faktor ändert, anstatt um denselben absoluten Betrag. Sie ist das wichtigste Werkzeug, um exponentielles Wachstum (z. B. Zinseszins, Bakterienvermehrung) oder exponentiellen Zerfall (z. B. radioaktiven Zerfall) zu berechnen.
Speziell bei Beschreibungen des radioaktiven Zerfalls werden wir immer wieder mit der Exponential-Funktion konfrontiert.
Betrachten wir zunächst die Schreibweise der Exponentialfunktion
\[f(x) = exp(x) = e^x \]
und eine spezielle Rechenregel
\[exp(x + y) = exp(x) \cdot exp(y) \]
Das nachfolgende Diagramm zeigt die Exponentialfunktion \(exp(-x)\) für x-Werte zwischen 0 und 3. Wir wollen uns nun einige Werte (siehe rote Pfeile) der Exponentialfunktion genauer ansehen.
An der Stelle \(x=1\) hat sie den Wert \(0,36788\).
Geht man nun zur Stelle \(x=2\), dann beträgt der Wert \(0,36788 \cdot 0,36788 = 0,13533528\),
an der Stelle \(x=3\) \(0,36788 \cdot 0,36788 \cdot 0,36788 = 0,04978707\) usw.
Der Faktor zwischen identischen Intervallen (in unserer Betrachtung \(\Delta x = 1\)) beträgt folglich immer 0,36788, ist zwischen gleichen Intervallen also immer konstant wie eingangs beschrieben.
Diagramm der Exponentialfunktion \(exp(-x)\) zur Verdeutlichung der oben getroffenen Aussage, dass sich in gleichen Intervallen der Wert immer um denselben Faktor ändert.
In manchen Fällen ist erforderlich viele Zahlen oder Terme zu addieren. Hierfür hat sich die Verwendung des Summenzeichens (\(\Sigma\)) als mathematische Abkürzung als vorteilhaft erwiesen.
Die allgemeine Schreibweise hierfür ist
\[\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \]
- \( \sum\): Summenzeichen; steht für die Addition der einzelnen Zahle oder Terme.
- \(i \): Laufindex; Variable, die die einzelnen Zahlen oder Terme indiziert (hochzählt).
- \(i = 1\): Startwert / untere Grenze; der Laufindex beginnt (in diesem Fall) mit der Zahl 1 (könnte im Prinzip bei einer beliebigen ganzen Zahl beginnen).
- \(n\): Endwert / obere Grenze; der Laufindex zählt in ganzen Schritten bis zu dieser Zahl hoch.
- \(a_{i}\): Summand; beschreibt die Rechenvorschrift. Hier wird der jeweilige Wert des Laufindexes \(i\) an der /den entsprechenden Stelle/n eingesetzt.
Zur besseren Verdeutlichung folgen einige Beispiele mit zunehmender Komplexität
\[\sum\limits_{i=1}^{5} i = 1+2+3+4+5\]
\[\sum\limits_{i=-2}^{2} i = (-2)+(-1)+0+1+2 \]
\[\sum\limits_{i=1} {4} i^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2\]
\[\sum\limits_{i=1}^{4} 2^i = 2^1+2^2+2^3+2^4\]
\[\sum\limits_{i=1}^{4} i^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2\]
\[\sum\limits_{i=1}^{3} exp(- 3 \cdot i) = exp(- 3 \cdot 1) + exp(- 3 \cdot 2) + exp(- 3 \cdot 3) \]
\[\sum\limits_{i=1}^{4} (i+9 \cdot i)^{(2\cdot i)} = (1+9 \cdot 1)^{(2 \cdot 1)} + (2+9 \cdot 2)^{(2 \cdot 2)} + (3+9 \cdot 3)^{(2 \cdot 3)} + (4+9 \cdot 4)^{(2 \cdot 4)} \]
Vor allem am letzen Beispiel sollte der Vorteil der kompakten Schreibweise unter Verwendung des Summenzeichens deutlich geworden sein Stellen Sie sich vor, das der Endwert \(n\) nicht 4 sondern beispielsweise 100 wäre ….
Anmerkung:
Für den Laufindex können natürlich auch andere Buchstaben verwendet werden, z. B. j, k, l, m …
Manchmal reicht ein Summenzeichen zur Beschreibung eines Zusammenhangs nicht aus und man benötigt ein weiteres. Derartige Doppelsummen treten vor allem im Zusammenhang mit Matrizen auf.
\[ \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,m} = a_{1,1} + a_{2,1} + \ldots + a_{n,1} + a_{1,2} + a_{2,2} + \ldots + a_{n,2} + \ldots a_{n,1} + a_{n,2} + \ldots + a_{n,m} \]
Die Summation erfolgt jetzt über zwei Laufindexe, die ebenfalls beide im Summanden \(a_{i,j} \) auftreten. Die Summation erfolgt für jeden Laufindex der ersten Summe für alle Laufindexe der zweiten Summe.
Anmerkung:
Nun kann man sich leicht vorstellen, dass bei Bedarf noch weitere Summenzeichen für eine verkürzte und übersichtlichere Beschreibung hilfreich sein können. Dreifachsummen werden beispielsweise oftmals bei Berechnungen mit Tensoren genutzt.
In mathematischen Beschreibungen von physikalischen Zusammenhängen werden wir hin und wieder auch das Integralzeichen \( \int \) antreffen. Dieses wird für das mathematische Konzept des Integrals verwendet. Das Integral wird zur Berechnung der Fläche unter einer Kurve oder zur Bestimmung der Summe von unendlich vielen kleinen Werten eingesetzt.
Anschaulich lässt sich die Berechnung eines Integrals und damit dessen grundlegende Nutzung am Beispiel der Berechnung einer Fläche erklären. Betrachten wir hierzu nachfolgende Abbildung. Für eine beliebige Funktion f(x) soll die Fläche S unter der Kurve im Bereich a bis b berechnet werden.
Darstellung des Integrals als Flächeninhalt S unter dem Graphen einer Funktion f im Integrationsbereich von a bis b [wikipedia].
Eine Möglichkeit hierfür ist, dass wir das Intervall zwischen \(a\) und \(b\) (wir werden zukünftig für ein Intervall die gebräuchliche Notation \([a, b]\) nutzen) in eine Anzahl äquidistanter Abschnitte der Länge \(\Delta x\) unterteilen. Für jeden dieser Abschnitte zeichnen wir ein Rechteck in die Darstellung, das bis zur Höhe der Kurve der Funktion \(f(x)\) reicht. Dies zeigt nachfolgende Darstellung für eine Unterteilung in vier Rechtecke. Jetzt können wir die Flächen der vier Rechtecke berechnen, anschließend addieren und erhalten so eine erste grobe Schätzung für den Flächeninhalt unter der Kurve. Eine Schätzung ist es, da die Flächen der einzelnen Rechtecke über bzw. unter der Kurve enden und damit den entsprechenden Flächeninhalt in dem jeweiligen Abschnitt über- bzw. unterschätzen.
Darstellung des Integrals als Flächeninhalt S unter dem Graphen einer Funktion f im Integrationsbereich von a bis b [wikipedia] angenähert durch die Flächen von vier Rechtecken.
Mathematisch können wir die näherungsweise Berechnung der Fläche wir folgt ausdrücken
\[ S \approx f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + f(x_3) \cdot \Delta x + f(x_4) \cdot \Delta x \]
\(f(x_1)\) ist der Wert der Funktion f(x) an der linken Kante des ersten Abschnitts, \( f(x_2)\) der Wert der Funktion \(f(x)\) an der linken Kante des zweiten Abschnitts usw.
Wie können wir die Berechnung der Fläche unter der Funktion \(f(x)\) im Intervall \([a, b]\) genauer machen? Wir nähern die Funktion \(f(x)\) einfach durch wesentlich mehr und damit schmalere Rechtecke an. In nachfolgendem Diagramm haben wir dies durch acht Rechtecke gemacht.
Darstellung des Integrals als Flächeninhalt S unter dem Graphen einer Funktion f im Integrationsbereich von a bis b [wikipedia] angenähert durch die Flächen von acht Rechtecken.
Ein Vergleich der beiden Diagramme mit der Annäherung der Fläche \(S\) unter der Funktion \(f(x)\) durch vier bzw. acht Abschnitte im Intervall \([a, b]\) zeigt augenscheinlich, dass die Fläche \(S\) durch acht Rechtecke wesentlich besser angenähert wird als durch vier.
Für eine noch bessere Annäherung unterteilen wir das Intervall in noch mehr Abschnitte, im Idealfall in unendlich viel, unendlich schmale Abschnitte.
Mathematisch können wir diese Summe wir folgt beschreiben
\[ S = \lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{i=0}^{\infty}f(x_{i})Δx \]
Der Ausdruck \(\lim\limits_{n\to\infty}\) ist ein mathematischer Ausdruck für die Aussage, dass der Endwert n der Summe gegen unendlich geht, d. h. die Summe unendlich oft für unendlich schmale Abschnitte \(\Delta x = \frac{b-a}{n} \) ausgeführt wird.
Und damit haben wir schon unsere Definition des Integrals
\[ \int \limits_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{i=0}^{\infty}f(x_{i})Δx \]
