Ausflug in die Mathematik

In unseren bisherigen Beschreibungen in den verschiedenen Einsteiger-Abschnitten haben wir versucht ohne weitergehende mathematische Kenntnisse auszukommen. Wenn wir uns nun einer vertieften Betrachtung der verschiedenen Themenbereiche zuwenden wollen, werden wir ohne einige mathematische Hilfsmittel nicht auskommen. Diese wollen wir hier kurz beschreiben.

Damit dieser Abschnitt nicht allzu unerquicklich wird (Mathematik ist nicht für jeden ein erstrebenswerter Lebensmittelpunkt), können Sie über das nachfolgende Auswahlmenü die für Sie aktuell interessanten Abschnitte auswählen. Außerdem werden wir in den verschiedenen Abschnitten der EducTUM-Webseiten, für deren Verständnis spezielleres mathematisches Wissen erforderlich ist, Links auf die jeweils relevanten Abschnitte integrieren.

Die Exponentialschreibweise (oder wissenschaftliche Notation) ist eine mathematische Methode, um sehr große oder sehr kleine Zahlen kompakt darzustellen. Eine Zahl wird dabei als Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz geschrieben. Sie dient vor allem der besseren Lesbarkeit und vereinfacht oftmals Rechnungen in Naturwissenschaften und Technik.

Die allgemeine Form lautet:

\[a \cdot 10^n\]

• \(a\) wird als Koeffizient oder Mantisse bezeichnet und hat in der Regel einen Wert zwischen 1 und kleiner als 10.
• \(n\) wird Exponent oder Hochzahl genannt und ist eine ganze Zahl. Sie gibt an, wie oft der Faktor 10 auf den Koeffizienten angewendet wird.

Hier einige Beispiele:

• \(4200 = 4,2 \cdot 10^3\) (der Exponent 3 sagt aus, dass das Komma um 3 Stellen nach rechts verschoben wurde)
• \(1600000 = 1,6 \cdot 10^6\) (… das Komma wurde um 6 Stellen nach rechts verschoben)
• \(0,000054 = 5,4 \cdot 10^{-5}\) (… das Komma wurde um 5 Stellen nach links verschoben)
• \(0,00000054 = 5,4 \cdot 10^{-7}\) (… das Komma wurde um 7 Stellen nach links verschoben)

Ein Beispiel für die Verwendung der Exponentialschreibweise haben wir bereits in der schematischen Darstellung des elektromagnetischen Spektrums kennengelernt und in den darauffolgenden weitergehenden Informationen bereits Bezug auf diese Schreibweise genommen. Letzteres können wir jetzt genauer formulieren. Die dort getätigte Aussage „dass man den Wert der Frequenz (\(\nu\)) einfach mit einer konstanten Zahl multiplizieren muss, um den entsprechenden Wert für die Energie (\(E\)) der Strahlung zu erhalten“ können wir nun mathematisch formulieren:

\[E = h \cdot \nu = 6,626 \cdot 10^{-34} \cdot \nu \]

Diese Beziehung sagt aus, dass man durch Multiplikation des Wertes der Frequenz \(\nu\) mit einer sehr kleinen konstanten Zahl (dem Planckschen Wirkungsquantum \(h = 6,626 \cdot 10^{-34}\) ) den entsprechenden Wert für die Energie der Strahlung erhalten kann (in diesem Beispiel haben wir die Verwendung der korrekten Einheiten vorausgesetzt. Gegebenenfalls müssen weitere Umrechnungsfaktoren berücksichtigt werden (siehe Abschnitt Einheiten)).

Während unserer Reise durch die verschiedenen Bereiche der zerstörungsfreien Charakterisierung radioaktiver Abfälle werden wir des Öfteren über Formeln stolpern, wie beispielsweise

\[ f(x) = 3 \cdot x \]

oder etwas komplizerter

\[ A(t) = A_0 \cdot \exp \left( - \lambda \cdot t \right) \]

Diese beiden Gleichungen sind Beispiele für mathematische Funktionen, einer der wichtigsten und grundlegendsten Begriffe in der Mathematik.

Das Grundprinzip einer Funktion ist aber relativ einfach: Man hat einen Eingabewert – beispielsweise \(x\) oder \(t\) in unseren Beispielen – und möchte den zugehörigen Wert der Funktion (\(f(x)\) oder \(A(t)\)) berechnen. Die Vorschrift (oder „Anleitung“), wie dieser Wert berechnet werden soll, steht auf der rechten Seite der Gleichung (nach dem „=“-Zeichen).

Vielen ist gar nicht klar, dass wir in unserem täglichen Leben häufig Funktionen benutzen – auch wenn wir diese nicht immer als Gleichung irgendwo notieren. Stellen Sie sich vor, Sie wollen ein Essen zubereiten. Das Kochrezept gibt die benötigten Mengen der verschiedenen Zutaten für eine Person an (z. B. 100 g Zucker). Dann kann das Kochrezept durch folgende Funktion für die benötigte Menge (hier: 100 g) der Zutat (hier: Zucker) beschrieben werden:

\[ \text{Menge(1 Person)} = \text{Menge an Zucker im Rezept} \]

also

\[ \text{Menge(1 Person)} = 100~g \]

Jetzt wollen Sie aber das Essen für 3 Personen zubereiten. Dann nehmen Sie für die benötigte Menge an Zucker doch automatisch die dreifache Menge aus dem Rezept (außer Sie wollen es weniger süß machen - aber das ist eine andere Sache). Dies können Sie auch mathematisch in Form einer Gleichung schreiben (frei nach dem Motto: warum einfach, wenn es auch kompliziert geht):

\[ \text{Menge(3 Personen)} = 3 \cdot \text{Menge an Zucker im Rezept} \]

Diese Funktion können wir auch allgemeiner schreiben, d. h. wenn wir sie auch für eine beliebige Anzahl an Personen verwenden wollen.

Meistens verwendet man in Gleichungen keine langen Texte für die einzelnen Beiträge, sondern Abkürzungen. Dies wollen wir jetzt auch einführen. Bezeichnen wir die Menge, die wir benötigen, mit dem Buchstaben \(m\), die Anzahl der Personen, für die wir kochen wollen mit \(x\) und die Mengenangabe an Zucker für eine Person aus dem Kochrezept mit \(m_0\), dann lautet die allgemeine Funktion

\[ m(x) = x \cdot m_0 \]

Sie haben damit eine eindeutige Rechenvorschrift, wie Sie für eine beliebige Anzahl an Personen \(x\) die benötigte Menge \(m(x)\) berechnen können.

Das war’s. Jetzt wissen Sie, dass Funktionen Rechenvorschriften sind mit der Sie für einen Eingabewert (in unserem Beispiel die Anzahl an Personen) einen Funktionswert (in unserm Beispiel die Menge an Zucker für eine gegebene Anzahl an Personen) berechnen können.

Funktionen helfen also dabei, Zusammenhänge und Abhängigkeiten in der realen Welt zu beschreiben und vorherzusagen.

Betrachten wir nochmals obige Funktion

\[ A(t) = A_0 \cdot \exp \left( - \lambda \cdot t \right) \]

Diese beschreibt den radioaktiven Zerfall d. h. wie groß ist die Aktivität \(A\) nach einer Zeit \(t\), wenn zum Zeitpunkt \(t=0\) die Aktivität \(A_0\) war. Der Zusammenhang wird durch eine Exponentialfunktion mit der Zerfallskonstanten \(\lambda\) beschrieben .

Zugegeben, diese Erklärung war bewusst sehr einfach und (hoffentlich) allgemeinverständlich gehalten. Es geht natürlich auch etwas mathematischer.

Formal schreibt man eine Funktion

\[ \text{f: X} \to \text{Y} \]

oder in unserem Anwendungsbereich meistens als Funktionsgleichung

\[ f(x) = \text{Term mit x} \]

Hierbei bedeuten

• Definitionsmenge (\(X\)): Die Menge aller Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden kann (also alle erlaubten \(x\)-Werte)
• Wertemenge (\(Y\)): Menge aller Werte, die als Ergebnis herauskommen können
• Argument (\(x\)): Eingangswert
• Funktionswert (\(f(x)\)): Der Ausgangswert (das Ergebnis), der zu einem bestimmten \(x\) gehört.

Neben der Darstellung einer Funktion als Funktionsgleichung können diese auch als Wertetabellen oder Diagramme dargestellt werden.

Ein Ausgangspunkt für weiterführende Informationen findet sich hier.

Eine Exponentialfunktion beschreibt mathematisch Prozesse, bei denen sich ein Wert in gleichen Intervallen (z. B. Zeitschritten) immer um denselben Faktor ändert, anstatt um denselben absoluten Betrag. Sie ist das wichtigste Werkzeug, um exponentielles Wachstum (z. B. Zinseszins, Bakterienvermehrung) oder exponentiellen Zerfall (z. B. radioaktiven Zerfall) zu berechnen.

Speziell bei Beschreibungen des radioaktiven Zerfalls werden wir immer wieder mit der Exponentialfunktion konfrontiert.

Betrachten wir zunächst die Schreibweise der Exponentialfunktion

\[f(x) = exp(x) = e^x \]

und eine spezielle Rechenregel

\[exp(x + y) = exp(x) \cdot exp(y) \]

Das nachfolgende Diagramm zeigt die Exponentialfunktion \(exp(-x)\) für x-Werte zwischen 0 und 3. Wir wollen uns nun einige Werte (siehe rote Pfeile) der Exponentialfunktion genauer ansehen.

An der Stelle \(x=1\) hat sie den Wert \(0,36788\).

Geht man nun zur Stelle \(x=2\), dann beträgt der Wert \(0,36788 \cdot 0,36788 = 0,13533528\),

an der Stelle \(x=3\) \(0,36788 \cdot 0,36788 \cdot 0,36788 = 0,04978707\) usw.

Der Faktor zwischen identischen Intervallen (in unserer Betrachtung \(\Delta x = 1\)) beträgt folglich immer 0,36788, ist zwischen gleichen Intervallen also immer konstant wie eingangs beschrieben.

In der Physik kommt es leider nur selten vor, dass genau die Größe, die wir wissen möchten, schon ganz allein auf einer Seite der Gleichung steht. Meistens versteckt sie sich irgendwo zwischen anderen Größen, Faktoren oder sogar in einer Exponentialfunktion.

Dann hilft nur eins: Wir müssen die Gleichung umstellen.

Das Prinzip dahinter ist eigentlich recht einfach. Was wir auf der einen Seite einer Gleichung machen, müssen wir auch auf der anderen Seite machen. Dabei versuchen wir, die Rechenoperationen, die unsere gesuchte Größe „umgeben“, Schritt für Schritt rückgängig zu machen.

Betrachten wir zunächst ein einfaches Beispiel:

\[ y = 3 \cdot x \]

Angenommen, wir kennen y, möchten aber x bestimmen. Die gesuchte Größe x steht aber nicht allein auf einer Seite der Gleichung, sondern wird noch mit dem Faktor 3 multipliziert. Um diese Multiplikation rückgängig zu machen, verwenden wir ihre Rückoperation: die Division.

Wir teilen also beide Seiten durch den Faktor 3:

\[ \frac{y}{3} = \frac{3 \cdot x}{3} \]

und erhalten

\[ x = \frac{y}{3} \]

Das gleiche Prinzip funktioniert auch bei komplizierteren Gleichungen: Wir machen die einzelnen Rechenschritte einfach in umgekehrter Reihenfolge wieder rückgängig.

Dabei begegnet uns in unseren Anwendungen noch eine besonders wichtige Rückoperation. Wie wir bereits bei der Exponentialfunktion gesehen haben, können Zusammenhänge beispielsweise in der Form

\[ y = \exp \left( x \right) \]

auftreten.

Aber wie bekommen wir x wieder aus dem Exponenten „heraus“?

Hier kommt der natürliche Logarithmus ins Spiel. Der Logarithmus ist die Rückoperation zur Exponentialfunktion:

Beide Operationen können sich also gegenseitig wieder „aufheben“.

Warum ist das für uns überhaupt interessant?

Bei Messungen können wir häufig bestimmte Größen direkt bestimmen, während andere Größen nicht unmittelbar zugänglich sind. Über bekannte physikalische Zusammenhänge können wir diese unbekannten Größen aber aus unseren Messwerten erschließen.

Ein Beispiel dafür ist der radioaktive Zerfall:

\[ A \left( t \right) = a_0 \cdot \exp \left( - \lambda \cdot t \right) \]

Angenommen, wir messen die Aktivität A(t), kennen die Anfangsaktivität A₀ = A(t=0) und möchten wissen, welche Zeit t vergangen ist.

Zunächst teilen wir durch die Anfangsaktivität A₀:

\[ \frac{A\left( t \right)}{A_0} = \exp \left(- \lambda \cdot t \right) \]

Jetzt steckt unsere gesuchte Größe t noch im Exponenten fest. Durch Anwenden des natürlichen Logarithmus können wir sie daraus „befreien“:

\[ \ln \left( \frac{A\left( t \right)}{A_0} \right) = - \lambda \cdot t \]

Nun müssen wir nur noch durch λ teilen:

\[ t = - \frac{1}{\lambda } \cdot \ln \left( \frac{A\left( t \right)}{A_0} \right) \]

Aus einer gemessenen Aktivität (und der bekannten Anfangsaktivität) können wir auf diese Weise also eine Größe bestimmen, die wir gar nicht direkt gemessen haben.

Genau das ist einer der großen Vorteile mathematischer Gleichungen in der Physik: Wir messen, was wir messen können, und berechnen daraus, was wir eigentlich wissen möchten.

Der Logarithmus ist eine sehr hilfreiche Methode, um auf den ersten Blick komplizierte Aufgaben zu lösen. Betrachten wir als erstes Beispiel folgende Gleichung:

\[ 2^x = 12,3 \]

Sie wollen wissen, welchen Wert x annehmen muss, damit die Gleichung erfüllt ist, d. h. die linke Seite denselben Wert ergibt wie die rechte Seite. Umgangssprachlich kann man die Aufgabe wie folgt formulieren: 2 hoch wieviel ergibt 12,3?

An dieser Stelle hilft der Logarithmus weiter. Hierfür logarithmieren wir die Gleichung.

\[ \log_{2}\left( 12,3 \right) = x \]

Um zu verstehen, wie wir zu dieser Schreibweise gelangen, führen wir zuerst einige Begriffe ein. Betrachten wir hierfür die allgemeine Gleichung

\[ b_{y} = x \]

b wird als Basis, y als Exponent und x als Numerus bezeichnet.

Mit dieser „Vorschrift“ sollte jetzt verständlich sein, wie wir auf obige Gleichung gekommen sind. Für die allgemeine Darstellung erhalten wir durch ihre Anwendung den Ausdruck

\[\log_{b} \left( y \right) = x \]

So weit, so gut. Aber was haben wir damit gewonnen? Wie können wir damit x berechnen?

Zunächst könne wir sagen, dass das Ergebnis x des Logarithmierens angibt, mit welchem Exponenten man die Basis b potenzieren muss, um den Numerus y zu erhalten. Als nächstes müssen wir noch wissen, dass der Logarithmus für alle positiven reellen Zahlen größer als Null definiert ist.

Wenn Sie die Übung nachvollzogen haben, haben Sie sich dabei Gedanken gemacht, warum dabei die Basis b gar keine Rolle spielte? Sie haben y eingegeben, die Taste log gedrückt und das Ergebnis x erhalten!

Hier ist ein Punkt, der oftmals bei der Verwendung des Logarithmus für Verwirrung sorgt: Je nach Wert der Basis gibt es „unterschiedliche“ Logarithmen:

\( \log_{e} \left( y \right) = \ln \left( y \right) \), natürlicher Logarithmus zur Basis e (e ist die Eulersche Zahl, mit e = 2,7182818…)

\( \log_{10} \left( y \right) = \lg \left( y \right) \), dekadischer Logarithmus zur Basis 10

\( \log_{2} \left( y \right) = lb \left( y \right) \), binärer Logarithmus zur Basis 2

Und um die Verwirrung komplett zu machen, wird das Zeichen \( \log \) oftmals ohne Angabe einer Basis bzw. der entsprechenden angepassten Schreibweise (d. h. ln, lg oder lb) verwendet. Wenn Sie diesen Fall antreffen, dann kann das einen der folgenden Gründe haben:

• Die verwendete Basis spielt in diesem Fall keine Rolle.
• Sie wurde an einer vorangegangenen Stelle (in der Veröffentlichung, im Buch …) vereinbart.
• Sie ist aus dem Zusammenhang erkenntlich.
• Sie wurde mit einer Konvention festgelegt.

Letztere haben wir in unserer Übung genutzt: auf den meisten (Taschen-)Rechnern steht \(\log\) für \(\log_{10}\).

Mit unserem bisherigen Wissen können wir aber immer noch nicht die eingangs gestellte Aufgabe berechnen, da auf den allermeisten Rechnern die Funktion lb fehlt. Hierfür müssen wir noch einige Rechenregeln für Logarithmen, die Logarithmengesetze, kennen lernen:

Produkte: \( \log_b \left(  x  \cdot y \right) =  \log_b \left( x \right) \log_b \left( y \right) \)

Quotienten: \( \log_b \left( \frac{x}{y} \right) =  \log_b \left( x \right) -  \log_b \left( y \right) \)

Summen und Differenzen: \( \log_b \left( x + y \right) =  \log_b \left( x \right) +  \log_b \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \)

Potenzen: \( \log_b \left( x^r \right) = r \cdot \log_b \left( x \right) \)

Wurzeln: \( \log_b \left( \sqrt[ r ]{ x } \right) = \frac{1}{r} \cdot \log_b \left( x \right) \)

Mit diesen Rechenregeln können wir uns jetzt an die Lösung unserer Aufgabe machen. Die Logarithmen, die wir auf unseren Rechnern meist vorfinden, funktionieren nur mit den Basiswerten 10 oder e. Wir benötigen für unsere Aufgabe aber den Logarithmus zur Basis 2. Damit kommen wir zum Thema der Basisumrechnung. Wir müssen den Logarithmus zur Basis 2 auf eine andere Basis beziehen, am besten auf die Basis 10, da wir dann unsere Rechnerfunktion \(\log\) nutzen können. Für die Umrechnung verwenden wir unsere Logarithmengesetze.

\[
\begin{aligned}
b^{ y } &= x &(1) \\
\log_{ a } \left(  b^{ y } \right) &= \log_{ a } \left( x \right) &(2) \\
y \cdot \log_{ a } \left(  b \right) &= \log_{ a } \left( x \right) &(3) \\
y  &= \frac{\log_{ a } \left( x \right)}{\log_{ a } \left( b \right)} &(4) 
\end{aligned}
\]

Die Ausgangsgleichung (1) logarithmieren wir mit einem Logarithmus zur Basis a (2). Die Basis müssen wir jetzt noch nicht festlegen. Im nächsten Schritt (3) wenden wir die Potenzregel an und lösen die Gleichung nach y auf (4).

Wählen wir a=10, d. h. den dekadischen Logarithmus, und setzen unsere Werte ein, so ergibt sich

\[
\begin{aligned}
y  &= \frac{ \log_{ 10 } \left( 12,3 \right) }{\log_{ 10 } \left(  2 \right)} \\
 &=\frac{1,0899...}{0,3010...} \\
 &\approx 3,6205...
\end{aligned}
\]

Auf einen in der Praxis oftmals nützlichen Punkt möchten wir am Ende noch hinweisen: der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion zur positiven Basis b (mit b≠1), d. h. Logarithmieren macht Exponenzieren rückgängig und umgekehrt.

Weitere Informationen zum Thema Logarithmus finden sich auf https://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus.

In manchen Fällen ist erforderlich viele Zahlen oder Terme zu addieren. Hierfür hat sich die Verwendung des Summenzeichens Σ als mathematische Abkürzung als vorteilhaft erwiesen.

Die allgemeine Schreibweise hierfür ist

\[\sum\limits_{i=1}^{n} a_i \]

• \( \sum\): Summenzeichen; steht für die Addition der einzelnen Zahle oder Terme.
• \(i \): Laufindex; Variable, die die einzelnen Zahlen oder Terme indiziert (hochzählt).
• \(i = 1\): Startwert / untere Grenze; der Laufindex beginnt (in diesem Fall) mit der Zahl 1 (könnte im Prinzip bei einer beliebigen ganzen Zahl beginnen).
• \(n\): Endwert / obere Grenze; der Laufindex zählt in ganzen Schritten bis zu dieser Zahl hoch.
• \(a_{i}\): Summand; beschreibt die Rechenvorschrift. Hier wird der jeweilige Wert des Laufindexes \(i\) an der /den entsprechenden Stelle/n eingesetzt.

Zur besseren Verdeutlichung folgen einige Beispiele mit zunehmender Komplexität

\[\sum\limits_{i=1}^{5} i = 1+2+3+4+5\]
\[\sum\limits_{i=-2}^{2} i = (-2)+(-1)+0+1+2 \]
\[\sum\limits_{i=1} {4} i^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2\]
\[\sum\limits_{i=1}^{4} 2^i = 2^1+2^2+2^3+2^4\]
\[\sum\limits_{i=1}^{4} i^2 = 1^2+2^2+3^2+4^2\]
\[\sum\limits_{i=1}^{3} exp(- 3 \cdot i) = exp(- 3 \cdot 1) + exp(- 3 \cdot 2) + exp(- 3 \cdot 3) \]
\[\sum\limits_{i=1}^{4} (i+9 \cdot i)^{(2\cdot i)} = (1+9 \cdot 1)^{(2 \cdot 1)} + (2+9 \cdot 2)^{(2 \cdot 2)} + (3+9 \cdot 3)^{(2 \cdot 3)} + (4+9 \cdot 4)^{(2 \cdot 4)} \]

Vor allem am letzen Beispiel sollte der Vorteil der kompakten Schreibweise unter Verwendung des Summenzeichens deutlich geworden sein Stellen Sie sich vor, das der Endwert \(n\) nicht 4 sondern beispielsweise 100 wäre ….

Manchmal reicht ein Summenzeichen zur Beschreibung eines Zusammenhangs nicht aus und man benötigt ein weiteres. Derartige Doppelsummen treten vor allem im Zusammenhang mit Matrizen auf.

\[ \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{m} a_{i,m} = a_{1,1} + a_{2,1} + \ldots + a_{n,1} + a_{1,2} + a_{2,2} + \ldots + a_{n,2} + \ldots a_{n,1} + a_{n,2} + \ldots + a_{n,m} \]

Die Summation erfolgt jetzt über zwei Laufindexe, die ebenfalls beide im Summanden \(a_{i,j} \) auftreten. Die Summation erfolgt für jeden Laufindex der ersten Summe für alle Laufindexe der zweiten Summe.

In mathematischen Beschreibungen von physikalischen Zusammenhängen werden wir hin und wieder auch das Integralzeichen \( \int \) antreffen. Dieses wird für das mathematische Konzept des Integrals verwendet. Das Integral wird zur Berechnung der Fläche unter einer Kurve oder zur Bestimmung der Summe von unendlich vielen kleinen Werten eingesetzt.

Anschaulich lässt sich die Berechnung eines Integrals und damit dessen grundlegende Nutzung am Beispiel der Berechnung einer Fläche erklären. Betrachten wir hierzu nachfolgende Abbildung. Für eine beliebige Funktion f(x) soll die Fläche S unter der Kurve im Bereich a bis b berechnet werden.

Eine Möglichkeit hierfür ist, dass wir das Intervall zwischen \(a\) und \(b\) (wir werden zukünftig für ein Intervall die gebräuchliche Notation \([a, b]\) nutzen) in eine Anzahl äquidistanter Abschnitte der Länge \(\Delta x\) unterteilen. Für jeden dieser Abschnitte zeichnen wir ein Rechteck in die Darstellung, das bis zur Höhe der Kurve der Funktion \(f(x)\) reicht. Dies zeigt nachfolgende Darstellung für eine Unterteilung in vier Rechtecke. Jetzt können wir die Flächen der vier Rechtecke berechnen, anschließend addieren und erhalten so eine erste grobe Schätzung für den Flächeninhalt unter der Kurve. Eine Schätzung ist es, da die Flächen der einzelnen Rechtecke über bzw. unter der Kurve enden und damit den entsprechenden Flächeninhalt in dem jeweiligen Abschnitt über- bzw. unterschätzen.

Mathematisch können wir diese Art der Berechnung der Fläche wie folgt ausdrücken:

\[ S \approx f(x_1) \cdot \Delta x + f(x_2) \cdot \Delta x + f(x_3) \cdot \Delta x + f(x_4) \cdot \Delta x \]
\(f(x_1)\) ist der Wert der Funktion f(x) an der linken Kante des ersten Abschnitts, \( f(x_2)\) der Wert der Funktion \(f(x)\) an der linken Kante des zweiten Abschnitts usw.

Wie können wir die Berechnung der Fläche unter der Funktion \(f(x)\) im Intervall \([a, b]\) genauer machen? Wir nähern die Funktion \(f(x)\) einfach durch wesentlich mehr und damit schmalere Rechtecke an. In nachfolgendem Diagramm haben wir dies durch acht Rechtecke gemacht.

Ein Vergleich der beiden Diagramme mit der Annäherung der Fläche \(S\) unter der Funktion \(f(x)\) durch vier bzw. acht Abschnitte im Intervall \([a, b]\) zeigt augenscheinlich, dass die Fläche \(S\) durch acht Rechtecke wesentlich besser angenähert wird als durch vier.

Für eine noch bessere Annäherung unterteilen wir das Intervall in noch mehr Abschnitte, im Idealfall in unendlich viele, unendlich schmale Abschnitte.

Mathematisch können wir diese Summe wie folgt beschreiben:

\[ S = \lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{i=0}^{n}f(x_{i})Δx \]

Der Ausdruck \(\lim\limits_{n\to\infty}\) ist ein mathematischer Ausdruck für die Aussage, dass der Endwert n der Summe gegen unendlich geht, d. h. die Summe unendlich oft für unendlich schmale Abschnitte \(\Delta x = \frac{b-a}{n} \) ausgeführt wird.

Und damit haben wir schon unsere Definition des Integrals

\[ \int \limits_{a}^{b}f(x)dx = \lim\limits_{n\to\infty}\sum \limits_{i=0}^{\infty}f(x_{i})Δx \]