Peakbreitenkalibrierung
Für die Bestimmung der Peakflächen und für das Peak-Fitting werden die energieabhängigen Peakbreiten benötigt. Diese werden im Allgemeinen als Breite eines Peaks bei seiner halben Höhe (FWHM: Full Width Half Maximum) definiert, die mit zunehmender Energie der Strahlung größer wird.
Durch Gamma-Strahlung erzeugte Peaks können in der Regel angenähert durch Gauß-Verteilungen beschrieben werden. Durch Röntgen-Strahlung erzeugte Peaks weisen in der Regel eine leicht abweichende Form auf, die durch eine Faltung einer Lorentz-Verteilung mit einer Gauß-Verteilung beschrieben wird. Die Halbwertsbreiten der beiden Funktionen können hierbei stark variieren und müssen nicht identisch sein. Diese gefaltete Funktion ist unter der Bezeichnung Voigt-Profil bekannt.
Mit nachfolgendem Tool kann der prinzipielle Verlauf dieser drei Verteilungsfunktionen näher betrachtet werden (Beachte: Für die Berechnung der Voigt-Verteilung wurde eine Pseudo‑Voigt‑Approximation verwendet).
Gauß-, Lorentz- und Voigt-Verteilung
Darstellung von Gauß-Verteilung (blau), Lorentz-Verteilung (grün) und der daraus resultierenden Voigt-Verteilung (rot). Durch Änderung des Erwartungswertes μ und der Standardabweichung σ der Gauß-Verteilung bzw. des Zentrums x0 und des Breitenparameter Γ der Lorentz-Verteilung wird die zugehörige Voigt-Verteilung berechnet und dargestellt (für die Berechnung der Voigt-Verteilung wird hier die Pseudo‑Voigt‑Approximation verwendet).
Die Breite eines Peaks hängt von einer Vielzahl an statistischen Unsicherheiten ab. Hierzu gehören beispielsweise alle Vorgänge von der Erzeugung der Ladung im Detektor für die eintretende Gamma-Strahlung, die Ladungssammlung, die Signalanpassung, ihre Weiterleitung und schließlich die Speicherung im Vielkanalanalysator betrifft.
Nach Gilmore wird die Breite eines Peaks durch drei Faktoren beeinflusst:
- Die Unsicherheit in der Anzahl an Elektron-Loch-Paaren, die durch die Wechselwirkung der Gamma-Strahlung im Detektormaterial erzeugt wird. Dies kann durch eine \( \sqrt{E} \)-Abhängigkeit beschrieben werden.
- Die Unsicherheit bezüglich der Sammlung der Ladungen im Detektorsystem und der anschließenden Detektorelektronik. Diese kann meist durch eine lineare Energieabhängigkeit beschrieben werden (empirisches Ergebnis).
- Die Unsicherheit durch elektronisches Rauschen. Diese kann durch einen konstanten Wert beschrieben werden, der unabhängig von der Pulshöhe ist.
Diese drei Faktoren ergeben folgende Beziehung zwischen der Energie und der Breite eines Peaks
\( w = a + b \cdot \sqrt{E} + c \cdot E \) | (Gilmore) |
a, b und c sind empirische Konstanten, die in einer Peakbreitenkalibration bestimmt werden.
In der Literatur und in Programmen findet man noch eine Anzahl weiterer Funktionen, die aber keine wirkliche physikalische Grundlage haben:
\( w = \sqrt {a + b \cdot E} \) | (Debian and Helmer) |
\( w = a + b \cdot E + c \cdot E^2 \) | (Mirion, Genie 2000, Polynom 2. Grades) |
\( w = a + b \cdot E \) | (lineare Abhängigkeit; oftmals gültig über breiten Energiebereich) |
Mit nachfolgendem Tool können Sie verschiedene Funktionen für die Beziehung zwischen Energie und Halbwertsbreite an zwei gemessene Kalibrationsdatensätze (Verwendung einer 152Eu-Quelle bzw. mehrere Punktquellen) anpassen und die empirischen Konstanten ermitteln. Sie bekommen so auch einen Eindruck über die „Qualität“ der verschiedenen Funktionen. Ergänzend können Sie auch Daten Ihrer eigenen Messungen eingeben.
Peakbreitenkalibrierung (FWHM)
Wertepaare (Energie, FWHM)
| Energie (keV) | FWHM (keV) | Aktion |
|---|
Neues Wertepaar hinzufügen
Beispieldaten laden
Kurvenanpassung
Tool zum Testen verschiedener Funktionen zur Halbwertsbreitenermittlung. Wählen Sie die gespeicherten Messdaten oder geben Sie manuell eigene Wertepaare ein. Die Daten werden auch grafisch angezeigt (unten). Anschließend wählen Sie die Funktion für eine Kurvenanpassung aus und starten die Berechnung der Anpassung mit „Anpassung berechnen“. Es werden ihnen die verwendete Funktion, das Bestimmtheitsmaß R² für die Güte der Anpassung, die Wurzel des mittleren quadratischen Fehlers RMSE und in der Grafik die gefittete Funktion angezeigt. Die ermittelten Parameter können über „Koeffizienten anzeigen“ sichtbar gemacht werden. Für die Bestimmung der Koeffizienten wurde ein nichtlinearer Levenberg-Marquart-Algorithmus genutzt.
Gut zu wissen:
Verschiedene Detektoren können bezüglich ihrer Auflösungseigenschaften durch Vergleich ihrer jeweiligen Peakbreiten bewertet werden: Je schmaler die Peakbreite, desto besser die Energieauflösung eines Detektors (Beachte: es dürfen nur die Peakbreiten bei gleichen Energien jeweils verglichen werden!)
Wir sind bislang davon ausgegangen, dass die Peaks durch Gauß- oder Voigt-Verteilungen beschrieben werden können. Wir haben dabei aber mögliches Tailing und den immer vorhandenen Untergrund vernachlässigt.
Betrachtet man in einem gemessenen Gamma-Spektrum einen Peak und seine direkte Umgebung etwas näher, dann fällt meistens auf, dass der Untergrund (Background) auf der niederenergetischen Seite des Peaks höher ist als auf der höherenergetischen Seite.
Dies ist hauptsächlich auf mehrfache Compton-Streuprozesse im Detektorkristall in Kombination mit einer unvollständigen Ladungssammlung zurückzuführen.
Wer’s genauer wissen will:
Gamma-Strahlung, die in den (HPGe-)Detektor gelangt, reagiert häufig zuerst über den Compton-Effekt. Dabei wird ein Teil der Energie des Photons auf ein Elektron übertragen. Das gestreute Photon kann das aktive Detektorvolumen verlassen oder weitere (Compton-)Wechselwirkungen eingehen. Die bei diesen Wechselwirkungen im aktiven Detektorvolumen deponierten Energie summieren sich auf. Wenn in dieser Kette an Wechselwirkungen das letzte gestreute Photon schließlich aus dem Detektor entweicht, fehlt dem Signal eventuell nur ein winziger Bruchteil der Gesamtenergie der ursprünglich in den Detektor eindringenden Gamma-Strahlung. Dadurch landen diese Ereignisse im Spektrum direkt links neben der Energie des Photopeaks und werden dem Untergrund zugeordnet. Die hierdurch hervorgerufene Änderung des Untergrundverlaufs wird oftmals durch eine Stufenfunktion oder eine S-förmige Funktion im Bereich unter dem Peak beschrieben.
Gaußkurve über einem S-förmigen Untergrund
Tool zum Testen des Einflusses eines S-förmigen Untergrunds auf die Darstellung einer Gauß-Verteilung in einem Gamma-Spektrum. Breite (Standardverteilung) der Gauß-Verteilung sowie die Steigung und Amplitude des Untergrunds können mit den jeweiligen Slidern eingestellt werden. Mit den Klickboxen können die drei Kurven wahlweise ein- oder ausgeschaltet werden.
Das Verhältnis der Stufenhöhe zur Höhe (Amplitude) der Gamma-Linie ist sowohl von der Energie, als auch vom Material, der Dichte und der Füllhöhe des Messpräparats abhängig. Im Energiebereich zwischen etwa 100 keV bis 1500 keV ist die Stufenhöhe relativ konstant. Bei niedrigeren bzw. höheren Energien steigt sie unterschiedlich stark an [Arnold 2003].
Subtrahiert man von den gemessenen Peakdaten diesen stufen- oder S-förmigen Beitrag und die den Peak beschreibende Gauß- (oder Voigt-)Verteilung, dann bleiben oftmals noch Anteile der beiden Flanken der Gaußverteilung übrig. Diese werden als Tailling bezeichnet, auf der linken Seite als LET (low energy tailing) und auf der rechten als HET (high energy tailing). Das LET ist eine Eigenschaft des Detektorkristalls und wird in den meisten Gamma-Spektrometrieprogrammen durch eine Exponentialfunktion beschrieben.
\[ T\left( E \right) \sim \frac{ 1 }{ \sigma \cdot \sqrt{ 2 \cdot \pi } } \cdot \exp \left[ \frac{ \sigma^2_{ T } }{ 2 \cdot \sigma^2 } + \sigma_T \cdot \left( \frac{ E - E_0 }{ \sigma^2 } \right)\right] \]
Diese führt dazu, dass die linke Flanke der Gamma-Linie gegenüber der idealen Gauß-Funktion etwas angehoben wird. Diese Anhebung kann lässt sich oftmals Beschreibung indem Gauß-Funktion im Punkt ET = E0 – σT mit stetiger Steigung in eine Exponentialfunktion T(E) übergeht. σT wird als Tailingparameter bezeichnet; E0 ist die Energie des Peaks im Maximum und σ die Standardabweichung der Gauß-Funktion. Je kleiner der Wert des Verhältnisses σT/FWHM ist, desto stärker ist der Effekt des Tailings ausgebildet. Ab einem Verhältnis von σT/FWHM = 1 kann der Beitrag des Tailings vernachlässigt werden.
Gauß-Funktion und Tailing (LET)
Parameter-Eingaben
FWHM (Gauß) = 4.71
Verhältnis (σT / FWHM) = 0.42
Gauß-Funktion mit low energy tailing (LET). Mit den Slidern können die mittlere Energie E0 der Gauß-Funktion, ihre Standardverteilung σ sowie der Tailingparamter σT eingestellt werden. Der Slider „Energie-Bereich“ ermöglicht die Einstellung der Breite des Energiebereichs um die mittlere Energie E0. Die Kennzahlen Halbwertsbreite der der Gauß-Funktion und des Verhältnisses σT/FWHM werden bei Änderungen der Parameter aktualisiert.
Die HET hingegen hängt von der Zählrate ab, weshalb eine exakte Beschreibung oftmals schwierig ist [Collins 2020].
Wenn wir uns verschiedene Gamma-Spektren bzw. die ermittelten Peakbreiten etwas genauer ansehen, dann werden wir feststellen, dass einige der im Spektrum enthaltenen Peaks breiter sind, als sie entsprechend der Peakbreitenkalibrierung sein sollten.
Wir haben schon besprochen, dass Röntgen-Peaks breiter sind als Gamma-Peaks. Es gibt aber noch einige weitere Gründe für breitere Peaks – und wir lassen an dieser Stelle sich überlappende Peaks außen vor, da es sich in diesen Fällen „nur“ um zwei oder mehrere „normale“ Peaks handelt.
Zum einen können wir bei 511 keV den Annihilationspeak finden. Dieser hat eine größere Peakbreite als entsprechende Gamma-Peaks bei dieser Energie. Der Grund hierfür liegt in der Doppler-Verbreiterung aufgrund der Unsicherheit bezüglich der exakten Energie der Annihilationselektrons (was eine größere Peakbreite zur Folge hat).
Des Weiteren werden Single Escape (SE) Peaks bei einer Energie auftreten, die um 511 keV geringer ist als die der entsprechenden charakteristischen Linie. Auch hier ist die Peakbreite größer als die entsprechender Gamma-Peaks bei dieser Energie. SE-Peaks entstehen durch Verlust eines Annihilationselektrons im Detektor. Die Unsicherheit bezüglich seiner exakten Energie (da nicht bekannt ist, wie genau die Aufteilung zwischen den beiden Annihilationspartnern erfolgte) hat die größere Peakbreite zur Folge.
Double Escape (DE) Peaks treten bei einer Energie auf, die um 1022 keV geringer ist als die der entsprechenden charakteristischen Linie. Sie entstehen durch den Verlust beider Annihilationselektronen im Detektor.
Beachte:
Double Escape (DE) Peaks haben die gleiche Peakbreite wie entsprechende Gamma-Peaks bei dieser Energie, da die gesamte Annihilationsenergie von 1022 keV abgegeben wird und es somit ohne Belang ist, wie diese zwischen dem Elektron und dem Positron aufgeteilt wurde.
